思维挑战谁能解决这个问题,将无愧于数学大_跳伞常识_跳伞

##:本文提出一个比著名的最速降线问题更复杂，并有实用价值的航空降落曲线问题，向广大数学爱好者寻求思考建议和解决方案。第一部分问题描述与分析一架飞机在某高空发动机熄火，但仍具备较高的初始速度和动能，如何在引擎无法提供动力和不能打开减速板的前提下，沿何种曲线滑行并按规定的着落速度和进场角度降落到附近指定机场，使整个滑翔降落过程耗用的时间最短？该问题看上去与最速降线问题类似，其实有本质的不同。最速降线问题最早由伽利略于年提出：一个质点在重力作用下，从A点到它斜下方的B点（两者不处于同一条垂直线上），如果不计空气阻力和摩擦力，问沿着什么曲线下滑所需的时间最短?他认为是一条圆弧线，其实是错的。瑞士数学家约翰．伯努利在年再提出这个问题并向全欧洲数学家发起挑战。有多位数学家如牛顿、莱布尼兹、洛必达和他本人都给出了正确答案，结果是一条摆线(也叫悬链线)，即圆周上任意一点沿直线前行所形成的运动轨迹，如下图。上面的滑行降落曲线问题（本问题）与最速降线问题不同：1.最速降线问题在A点没有初始速度，本问题在A点有较大的初始速度（若没有初始速度和动能，飞机会直接掉落）；2.最速降线问题对B点（到达点）没有速度要求，本问题对到达点有速度和进场角度要求，以便能安全着陆或迫降。3.本问题在B点的着陆速度会低于A点的初始速度，在没有制动设备的前提下，只能通过调整攻角来消耗动能和降低速度。4.最速降线问题不考虑空气阻力和摩擦力，本问题则必须考虑空气密度和阻力。若无空气流动形成的浮力(升力)，飞机会直接掉落。对本问题用数学语言描述之前，先对问题做些基本的思考和推测：思考：飞机在空中引擎熄火，假设离地面高度米，空速为公里/时，离指定机场30公里，要求降落速度为公里时，进场角度(速度矢量与地面夹角)不高于3度。首先要考虑的问题是能否降下来？对于给定的高度和速度，一定存在一个合适降落的距离范围，这个距离不会是零（不能垂直俯冲砸向地面），也不会很远很远。过远的滑翔过程会因为空气阻力的缘故而耗尽初始动能和势能，会导致失速坠毁。指定的机场距离（离初始点的水平距离如30公里）是否合适，能否降到预期的速度要求？其次，在确定能降落的情况下才考虑沿什么曲线降落而时间最短？一句话，能否回家，怎么尽快回家？先做下简单的判断，正常的战机降落，进近点（下滑道起点）的高度约米，水平距离约15公里，高度/距离比为1/15,进近线与地面夹角为arctan(1/15)=12度。民用客机的进近点会有所不同。本问题考虑到没有引擎动力支持下，将高度/距离比设为5公里/30公里=1/6。初速速度公里的时速应当足以支持降落距离所需。进场角度好办，快着落时降低高度并拉杆以便柔和接地即可，关键是路径选择和减速问题。假如通过恰当的攻角控制能将速度降至所需，该选择什么降落曲线耗用时间最短，不妨做几个大胆推测：选择a:摆线推荐理由：不是明摆的吗？既然最速降线是摆线，那么本问题也应当是摆线，这样时间最短。否定理由：不一定。最速降线对到达点没有速度限制，若沿摆线前行，前半程因为曲线下降幅度大，攻角小，空气阻力和升力较小，不足以抵消重力，速度非但不降，反而加速，这样会使得后半程需要大幅减速而攻角过大，很可能导致失速坠机。选择b:直线推荐理由：无论沿何种曲线降落，都要求从初始速度降到末端速度，若直线飞行的话距离最短，按平均时速计算测算则时间最短，攻角也相对稳定，易于操控。否定理由：距离最短不代表时间最短，若大部分航程速度较快，最后小部分航程再减速，即便沿着曲线滑行也可能时间更短。选择c:正切函数线推荐理由：小时候玩过纸折飞机，用一定速度丢出去的话，差不多是按正切函数线飞行，先平缓下降，再稍快速度下降，最后平缓入地，可以满足入场角度要求。既然是大自然给的启示，一定有道理。否定理由：大自然不给与入场速度提示。选择d:震荡线推荐理由：先极速下滑至合适距离和高度，再根据速度选择震荡几次消耗动能，以安全速度和角度入场。否定理由：震荡型曲线对攻角难以把控，超过临界攻角会失速选择e:无解推荐理由：不存在最优解，或无法获得最优解。否定理由：只要能减速到进场速度，就一定存在最优解，最短时间只有一个。以上是几种可能的选项，网友会如何选择呢？欢迎参与思考和讨论。下面即将进入已数学语言对问题精准描述，建立数学模型来探讨问题的可解性，有兴趣的网友可以继续看下去，需具备一定的数学基础知识（如微积分，泛函，变分法等）。第二部分问题的数学描述与数学模型首先需对航空动力学几个基本概念做些介绍和铺垫：攻角AOA(AngleofAttack)，是指飞机机翼的翼弦线(机翼横截面的前后缘连线)与迎面而来的气流方向的夹角，通常认为飞机高速行驶时,气流方向与飞机前行的速度矢量方向(飞行曲线的切线方向)平行，方向相反(如图1)。攻角与仰俯角不是一个概念，仰角是指飞机纵轴线(机鼻指向)与水平线的夹角。飞机纵轴线与翼弦线不一定重合(可能有夹角)。攻角的改变会导致飞行曲线和飞行速度的改变。空气密度与海拔高度及处于该高度的气压，温度等相关，海拔高度每提升米，空气密度约降低10%。为简化问题起见，假设空气密度ρ只与海拔高度相关，成线性递减关系，近似估计公式：ρ=1.-0./h，单位：Kg/m^3,其中h为海拔高度，单位：m;飞机的升力是因为气流经过机翼上下两翼面流速不同或压强不同产生的压力差形成的，计算公式为：其中ρ是空气密度，S是机翼的受风面积（翼展面积），V是机翼相对于气流的运动速度，CL是升力系数，与攻角a相关，升力系数曲线如下图2。在中小攻角时，其计算公式为：飞机的阻力由摩擦阻力，压差阻力，诱导阻力等构成，计算公式为：其中ρ，S，V的定义如上，CD为阻力系数。阻力系数曲线如下图3。图表3以上就是描述本问题所需的航空动力学方面的一些基本铺垫。根据攻角和升力系数曲线计算飞机的起飞速度：设某战机重量（含武器和燃油等载荷）为28吨(28,kg)，翼展面积为65m^2，升力曲线系数为：CL=C0(α-α0)，设C0=0.1/度，零升力攻角α0=-4度，在跑道上滑行加速时，初始攻角α=10度，则升力系数CL=0.1*(10+4)=1.4(无量纲)地面上空气密度ρ=1.-0./h=1.kg/m^3(海拔高度h=0)，飞机升力为：L=0.5ρCLSV^2=0.5*1.*1.4*65*V^2=59.01*V^2（单位：kg*m/s^2）飞机刚离开地面时，升力=重力，飞机重力G=28吨*9.8m/s^2=,kg*m/s^2即59.01*V^2=,，起飞速度V=√(,/59.01)=68.19m/s=公里/小时。这个起飞速度与实际情况比较符合。（以上述战机为例）坐标设定：以初始点A，到达点B，和A点垂直指向地面的C点这三个点构成的平面为直角坐标，A点为坐标原点O，A点垂直向下的方向为Y轴，A指向B方位的水平方向为X轴。我们考虑的问题是指该平面坐标的飞行曲线问题，如下图4。图表4初始攻角的确定：初始攻角的数值与初始速度V0的矢量方向有关，假设在初始点飞机是沿水平方向(X轴)飞行的，初始速度矢量与X轴的夹角φ0=0度，则意味着在该点，飞机的升力L与飞机重力G相等，L=0.5ρ0CLSV0^2=0.5*0.*[0.1*(α+4)]*65*.22=,*(α+4)G=20*9.8=,，由L=G得α=,/,-4=-1.75，即初始攻角为-1.75度。问题：为何负的攻角也能克服飞机重力？因为零升力攻角是负4度，初始速度很高，少许增大一些攻角就能增加很高的升力，抵消飞机重力。飞机(质点)从坐标原点(0,0)到曲线上任意一点(x,y)，设y是x的函数，记y=y(x)，该点的速度矢量V与X轴的夹角为φ，沿X轴，Y轴的的分量为Vx,VyVx=Vcosφ,Vy=Vsinφ在该点的海拔高度h=h0-y，空气密度ρ=1.-0./*(h0-y)升力L=0.5ρCLSV^2，其中升力系数CL=C0(α-α0)阻力D=0.5ρCDSV^2，其中阻力系数CD=CD0+*CL^2L和D是α,y的函数，记L=L(α,y),D=D(α,y)曲线在该点弧长的微分ds=√[(dx)^2+(dy)^]=√(1+y^2)dxsinφ=dy/ds=ydx/ds=y/√(1+y^2)cosφ=dx/ds=1/√(1+y^2)升力L沿X轴，Y轴的的分量为Lx,LyLx=Lx(α,y)=L(α,y)sinφ=yL(α,y)/√(1+y^2)Ly=Ly(α,y)=-L(α,y)cosφ=-L(α,y)/√(1+y^2)(负号表示与重力G的方向相反，起抵消重力的作用)阻力D沿X轴，Y轴的的分量为Dx=Dx(α,y)=-D(α,y)cosφ=-yD(α,y)/√(1+y^2)Dy=Dy(α,y)=-D(α,y)sinφ=-D(α,y)/√(1+y^2)通过质点从原点(0,0)到(x,y)点的动能和势能变化可以导出速度矢量V的表达式（推导过程从略）。现计算滑翔降落的时间：于是我们得到了飞机沿任意曲线y=y(x)下滑的时间表达式。积分函数F(x,α,y,y)包括α,y两个未知数(当中还包括y，若能求出y,自然可求出y)。而α和y都是x的函数。滑翔降落问题变成求两个变元函数的极值问题。为了求α和y使T达到极值，需要需借助其他方程组，泛函F(x,α,y,y)满足欧拉-拉格朗日方程：：模型中(1)和(2)是关于函数α,y的二元非线性偏微分方程组，方程展开非常复杂，理论上应当有解，但本人无法求解，因此寻求有相当基础的数学爱好者进行尝试。网友若自己无法解决可以给身边或熟悉的专业人士提供建议和解决方案。该问题的研究有较大的实际意义。现代航空飞行的安全系数虽然很高，可一旦发生引擎问题（如遭受飞鸟攻击或其他缘故），即便最有驾驶经验的飞行员也会冷汗直冒，如何能尽快返回地面是迫在眉睫的问题。在引擎发生故障无法提供动力的情况下，滑翔降落是必选。现代飞机都配有APU电力辅助系统，在主引擎断电后提供电力支持，确保液压系统，电气系统，方向舵等能继续工作，使滑翔降落成为可能。对战机而言，被敌机追尾(受导弹或航炮袭击)导致引擎熄火是大概率事件。只要有足够的初始动能使迫降较有把握，则未必都选择弹舱跳伞。如何选择最优的降落曲线问题值得探究，模型中的参数和变量作适当调整可转化为最短航程路径问题，不限于最短时间问题。多年前最速曲线问题的提出是在微积分刚诞生不久的时候，据说牛顿花了几个小时就搞定了，真不愧是最伟大的数学家，该问题后来经欧拉，拉格朗日等数学大师的研究导致泛函和变分法等新学科的诞生。如今微积分的知识已普及到高中和大学课程，相信有能者可以作为。本文中的数学模型只是一种参考，相信会有更好更简捷的模型解决问题。理论总是先于实践并指导实践，倘若对该问题能提供解决方案，无疑是一件功德无量的事情。欢迎有兴趣的网友积极参与，提供建议和方案。文中内容具有一定的学术价值，未经本人和本站许可，网友不要随意引用和转摘。对该问题的探究若有新的模型和解决方案，可以直接投稿到学术期刊发表，表明已进入数学大咖的行列。对问题研究有心得的话，欢迎联系交流。谢谢支持与

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